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Segmentos Rectilíneos

Ahora vamos a profundizar un poco más en el estudio de los segmentos. En esta lección vamos a encontrar algunas características de los segmentos y las rectas que nos ayudarán a estudiar con mayor provecho los siguientes temas. Cuando consideramos un segmento rectilíneo en un sistema de coordenadas, no siempre encontraremos segmentos paralelos a alguno de los ejes. La mayoría de las veces encontraremos segmentos con cierta inclinación. El siguiente segmento es un ejemplo de esos casos:
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Este segmento, sin embargo, puede estudiarse de una manera más sencilla si lo descomponemos en proyecciones sobre los ejes coordenados, de la siguiente manera:
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De hecho, para deducir las fórmulas que ya hemos utilizado (punto medio, distancia entre dos puntos, etc.) se deducen a partir de la descomposición que se mostró anteriormente. Por ejemplo, para deducir la fórmula de distancia entre dos puntos, dibujamos un triángulo rectángulo, siendo las proyecciones paralelas a los ejes los catetos del triángulo y la hipotenusa el segmento inclinado, como se muestra a continuación:
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Fácilmente podemos notar que la \dice{componente} del segmento que es paralela al eje x mide 7 - 1 = 6 unidades, mientras que la \dice{componente} paralela aleje y mide 5 - 1 = 4 unidades de longitud. Para encontrar la longitud del segmento, podemos utilizar el teorema de Pitágoras, que estudiamos el semestre pasado. Recuerda que este teorema se aplica solamente a triángulos rectángulos y en este caso, nuestro triángulo es rectángulo. Para encontrar la longitud del segmento hacemos:
  \begin{eqnarray*} c^2 &=& 6^2 + 4^2\\ c &=& \sqrt{6^2 + 4^2}\\ \end{eqnarray*}
Observa que para calcular las \dice{componentes} del segmento paralelas a cada eje, calculamos la diferencia de las coordenadas:
  \begin{eqnarray*} \Delta x &=& x_2 - x_1\\ \Delta y &=& y_2 - y_1 \end{eqnarray*}
Y estos valores son las medidas de los catetos horizontal y vertical, en nuestro caso, del triángulo rectángulo, mientras que la diagonal es la hipotenusa.
Al aplicar el teorema de Pitágoras, obtenemos:
  \begin{eqnarray*} c^2 &=& (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2\\ c &=& \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}\\ &=& \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \end{eqnarray*}
que es la fórmula que utilizamos para encontrar la distancia entre los puntos P(x_1, y_1) y Q(x_2, y_2). Observa que crepresenta la longitud de la hipotenusa, que en este caso es la longitud del segmento \overline{PQ}. Entonces, si tenemos dos puntos en un segmento dirigido, podemos encontrar la distancia entre ellos calculando la diferencia entre sus coordenadas. Al valor que está más a la izquierda (o más arriba) le restamos el valor que esté más a la derecha (o abajo). Para la diferencia de las coordenadas sobre el eje x lo denotamos por \Delta x y a la diferencia de las coordenadas sobre el eje y se denotan por \Delta y:
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Podemos determinar de una manera única a una recta de varias formas:
  • a partir de su ecuación,
  • a partir de dos de sus puntos
  • a partir del ángulo que forma con uno de los ejes y su distancia al origen, etc.
Para poder desarrollar todas estas formas, primero debemos definir algunos conceptos relacionados.
Resultado de imagen para ejercicios de segmentos rectilineos
Para más información sobre el tema entre a este link que lo ingresará a un video de youtube: https://www.youtube.com/watch?v=PrsQ9Ad25MU
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